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　　H空间(H-space)是一类特殊的拓扑空间。指具有乘法运算和双边同伦单位元的带基点的拓扑空间。设(X，e)是带基点的拓扑空间，1是X上的恒同映射，i

　　都与1相对于基点同伦，则称(X，e)为H空间，并称e为其同伦单位元，m为乘法运算。

　　H空间(H-space)是一类特殊的拓扑空间。指具有乘法运算和双边同伦单位元的带基点的拓扑空间。设(X，e)是带基点的拓扑空间，1是X上的恒同映射，i

　　都与1相对于基点同伦，则称(X，e)为H空间，并称e为其同伦单位元，m为乘法运算。若映射m°(m×1)与m°(1×m)也相对于基点同伦，则称m是同伦可结合的乘法运算，并称(X，e)是同伦可结合的H空间。若又存在保持基点的映射μ：X→X，使得映射m°(1×μ)°Δ与m°(μ×1)°Δ都和X上映入基点e的常值映射e：X→X相对于基点同伦，则称(X，e)是具有同伦逆元的H空间，其中Δ：X→X×X是由Δ(x)=(x，x)定义的对角映射。若T：X×X→X×X是由T(x

　　)定义的交换映射，并且映射m和m°T相对于基点同伦，则映射m和H空间(X，e)分别称为同伦可交换的乘法运算和同伦可交换的H空间。凡拓扑群都是H空间，可除代数C，Q，K中的单位球面是H空间。若Y是任意带基点的拓扑空间，则Y上的闭路空间ΩY是H空间，并且是具有同伦逆元的同伦可结合H空间；当n≥2时，ΩY还是同伦可交换的。H空间的重要性质是：若(X，e)是H空间，则同调群H

　　(X)和H(X)是对偶霍普夫代数。H空间的概念是霍普夫(Hopf，H.)于1941年提出的。

　　欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。拓扑空间是一种抽象空间，这种抽象空间最早由法国数学家弗雷歇于1906年开始研究。1913年他考虑用邻域定义空间，1914年德国数学家豪斯多夫给出正式定义。豪斯多夫把拓扑空间定义为一个集合，并使用了“邻域”概念，根据这一概念建立了抽象空间的完整理论，后人称他建立的这种拓扑空间为豪斯多夫空间(即现在的T

　　拓扑空间)。同时期的匈牙利数学家里斯还从导集出发定义了拓扑空间。20世纪20年代，原苏联莫斯科学派的数学家П.С.亚里山德罗夫与乌雷松等人对紧与列紧空间理论进行了系统研究，并在距离化问题上有重要贡献。1930年该学派的吉洪诺夫证明了紧空间的积空间的紧性，他还引进了拓扑空间的无穷乘积(吉洪诺夫乘积)和完全正规空间(吉洪诺夫空间)的概念。

　　20世纪30年代后，法国数学家又在拓扑空间方面做出新贡献。1937年布尔巴基学派的主要成员H.嘉当引入“滤子”、“超滤”等重要概念，使得“收敛”的更本质的属性显示出来。韦伊提出一致性结构的概念，推广了距离空间，还于1940年出版了《拓扑群的积分及其应用》一书。1944年迪厄多内引进双紧致空间，提出仿紧空间是紧空间的一种推广。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的学生们进行了完整的研究。布尔巴基学派的《一般拓扑学》亦对拓扑空间理论进行了补充和总结。

　　此外，美国数学家斯通研究了剖分空间的可度量性，1948年证明了度量空间是仿紧的等结果。捷克数学家切赫建立起紧致空间的包络理论，为一般拓扑学提供了有力工具。他的著作《拓扑空间论》于1960年出版。近几十年来拓扑空间理论仍在继续发展，不断取得新的成果。

　　设f、g是拓扑空间X到Y的两个连续映射，若存在连续映射H：X×I→Y使得：H(x，0)=f(x)；H(x，1)=g，x∈X，则称f与g同伦，记为f≃g：X→Y或f≃g，映射H称为f与g之间的一个同伦。f与g的同伦H也可理解为单参数映射族{h

　　=g，即当参数t从0变到1时，映射f连续地形变为g。与常值映射同伦的映射称为零伦的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切连续映射之集，则同伦关系≃是C[X，Y]上等价关系，每个等价类称为一个同伦类，同伦类的全体所成集记为[X，Y]。设Y是R的子空间，f，g：X→Y是连续映射，若对每个x∈X，点f(x)与g(x)可由Y中线段连结，则f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零伦，即[X，Y]仅含一个元素。设X，Y与Z均为拓扑空间，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，则gf≃gf： X→Z。