设X，Y为拓扑空间，若存在连续映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Id

　　。这Id、id均表示恒同映射，则称f为同伦等价，g为f的同伦逆，而将X与Y称为具有相同的伦型，或简称同伦的，记作X≃Y。与单点空间同伦的空间称为可缩的，或者存在x

　　同伦，空间X可缩。R和R中凸集均为可缩空间。同伦关系是拓扑空间之间的等价关系。X可缩等价于下列几条中任意一条：(1)id

　　零伦。(2) 对任意空间Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)对任意空间Z和连续映射g：Z→X，g≃0。

　　霍普夫是瑞士数学家。生于德国的布雷斯劳(今波兰弗罗茨瓦夫)，卒于瑞士措刊孔。早年就学于柏林大学、海德堡大学。1925年获柏林大学博士学位，同年又到格丁根大学学习。1927—1928年，在普林斯顿大学做研究工作。1931年被聘为瑞士苏黎世高等工业学院教授，直至1965年退休.美国全国科学院和意大利林琴科学院外籍院士。1955—1958年任国际数学联盟主席。

　　霍普夫的工作很大一部分与代数拓扑有关。他在20世纪30年代的工作是后来的球同伦研究的先驱。在柏林大学时，他证明了布劳威尔映射度是映射S

　　→S的惟一同伦不变量，得到了布劳威尔-霍普夫定理。1925年到格丁根后，受诺特(Noether，E.)影响较大，他第一个把诺特的概念框架应用于同调论，证明了欧拉-庞加莱公式的推广.1931年，他证明了存在映射f：S

　　，f被称为霍普夫映射，也就是著名的霍普夫纤维化或主霍普夫丛。这在同伦论发展史上具有重要意义。他还定义了霍普夫不变量，并证明了上面映射的不变量为1。1935年，他又推广了上面映射，得到了映射f：S

　　，并对这种映射进行了同伦分类，证明了当n=4，8时，所有映射不变量相等。后被人证明，当n=2，4，8时，霍普夫不变量都为1。这时映射就成为以S为全空间，以S为底空间的纤维丛的映射。他首次证明了本质，但是零调的映射的存在性，且基本性质不能用诱导同调同态来检验。1941年，他建立了H空间，并在研究H空间的同调以及上同调时，又建立了霍普夫代数。现在霍普夫代数已是现代代数的一个重要组成部分，并是代数拓扑学的常用工具。此外，他在拓扑和微分几何的其他很多方面也做出了重要贡献。他曾和亚历山德罗夫(Александров，А.Д.)进行过长期的合作，1935年，他俩合著的《拓扑Ⅰ》一书，对拓扑学的发展起了很大的推动作用。1969年，他还获国际罗巴切夫斯基数学奖。他的主要论著均收入了他1964年出版的《文选》中。

　　傅俊义,王三华,罗贤强.H空间中的向量极小极大定理[J].南昌大学学报(理科版),2003(01):1-4.

　　崔艳兰.H—空间中Browder不动点定理及应用[J].天津工业大学学报,2002(02):24-25+29.

　　王建强,王黎辉.H—空间上的一个变分不等式[J].连云港职业技术学院学报(综合版),2001(01):8-9.